Apakah Himpunan Itu?????

HIMPUNAN

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

1. Arti Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.Benda-benda atau objek tersebut disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.Nama suatu himpunan ditulis dengan menggunakan huruf kapital,misalnya A,B,C,D,dan seterusnya.Suatu himpunan dapat ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal,dan anggota-anggota himpunan ditulis diantara pasangan kurung kurawal itu.Untuk menuliskan himpunan yang berkelanjutan digunakan tanda titik tiga buah untuk mengganti anggota yang lain.

Contoh :

a. A adalah himpunan dari daerah istimewa di Jawa.

Anggota himpunan tersebut adalah Jakarta dan Yogyakarta.

Jadi A = { Jakarta , Yogyakarta }.

b. C adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 6.

Anggota himpunan tersebut adalah 0,1,2,3,4,5.

Jadi C = { 0,1,2,3,4,5 }.

2. Keanggotaan Suatu Himpunan

Anggota-anggota dari suatu himpunan dapat angka,huruf,nama orang,nama kota,nama binatang,dan lain-lain.Anggota himpunan dinyatakan dengan lambang <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>,sedangkan bukan anggota himpunan dinyatakan dengan <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> .Banyak anggota suatu himpunan adalah jumlah seluruh anggota himpunan tersebut.

Contoh : C = { 0,1,2,3,4,5 }.Banyaknya anggota himpunan C ditulis

n ( C ) = 6. Pada himpunan C,2 <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> C,sedangkan 6 <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C.

 

3. Menyatakan Banyaknya Anggota Himpunan

Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi n(A).Jadi,notasi n(B) artinya banyak anggota pada himpunan B.

Contoh : A = { 0,1,2,3,4 }

Banyak anggota himpunan A adalah 5 buah.Ditulis n(B) = 5.

4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

Dalam himpunan bilangan,terdapat beberapa macam himpunan diantaranya :

a. Himpunan bilangan bulat,biasanya diberi nama B.

B = { …,-3.-2,-1,0,1,2,3,… }.

b. Himpunan bilangan asli,biasanya diberi nama A.

A = { 1,2,3,4,…}.

c. Himpunan bilangan cacah,biasanya diberi nama C.

C = { 0,1,2,3,4,… }

d. Himpunan bilangan ganjil.

{ 1,3,5,7,… }.

e. Himpunan bilangan cacah genap

{ 0,2,4,6,8,… }.

f. Himpunan bilangan prima.

{ 2,3,5,7,… }

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua factor,atau bilangan yang habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri,kecuali 0 dan 1.

g. Himpunan bilangan cacah kuadrat.

{ 0,1,4,9,16,… }.

h. Himpunan bilangan komposit.

{4,6,8,9,10,… }.

Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari dua faktor.

 

5. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu bilangan dapat dinyatakan dengan tiga cara berikut :

a. Dengan kata-kata.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

6. Menyatakan Suatu Himpunan Dengan Kata-Kata

a. A adalah himpunan lima bilangan asli yang pertama.

A = { lima bilangan asli yang pertama }.

b. B adalah himpunan bilangan cacah yang lebih dari 10.

B = { bilangan cacah yang lebih dari 10 }

7. Menyatakan Suatu Himpunan Dengan Mendaftar Anggota-Anggotanya

A = { lima bilangan asli yang pertama }.

Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah

A ={ 0,1,2,3,4,5 } atau A = { 2,4,3,0,1 }

8. Menyatakan Suatu Himpunan Dengan Notasi Pembentuk Himpunan.

K = { x / x < 5 , <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> A },dengan A adalah himpunan bilangan asli.

Dibaca : K adalah himpunan x sehingga x kurang dari 5 dan anggota A.

9. Jenis-Jenis Himpunan

a. Himpunan berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang mempunyai beringga banyak anggota.

A = {2,3,5,7} maka n(A) adalah 4

A disebut himpunan berhingga.

b. Himpunan tak beringga

Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang mempunyai banyak anggota tak berhingga.

B = { 1,3,5,7,…}maka n(B) tak berhingga.

B disebut himpunan tak berhingga.

c. Himpunan kosong

C = { bilangan prima antara 5 dan 7 }

Tidak ada bilangan prima antara 5 dan 7 maka n(C) = 0

C disebut himpunan kosong dan untuk menyatakannya digunakan notasi { } atau <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>.

10. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.Himpunan kosong ditulis dengan notasi { } atau <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>.

Contoh : himpunan bilangan asli antara 4 dan 5.

F = { x / x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> N ,4 + x = 2 } = {}

G = { x / x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> N ,1 + x = 1 } = {}

H = { x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> Z , 1 + x = 4 } = {}

11. Semesta Pembicaraan dan Himpunan Kosong

Semesta pembicaraan (simbol S) adalah himpunan semua objek yang dibicarakan.Suatu himpunan yang tida k memiliki anggota disebut himpunan kosong dan diberi symbol {} atau <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>.

Contoh :

Misalkan pada suatu fakultas sastra,himpunan A menyatakan mahasiswa yang berkacamata dan B adalah himpunan yang mengambil mata kuliah matematika diskrit.Nyatakan S,A,dan B!

Jawab :

Sebagai semesta pembicaraan S,diambil himpunan semua maasiswa fakultas sastra.

A = { x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> S| x adalah mahasiswa yang berkacamata}

B = {} karena tidak ada mahasiswa fakultas sastra yang mengambil mata kuliah matematika diskrit.

Beberapa sifat himpunan kosong adalah :

1. Himpunan kosong adalah himpunan bagian semua himpunan.Jadi,<!–[if gte msEquation 12]>∅⊆ <![endif]–>A dan untuk semua himpunan A.

2. Himpunan kosong adalah tunggal.

12. Himpunan Kuasa

Misalkan A adalah sembarang himpunan.Himpunan kuasa A (simbol P(A)) adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan A.Jika himpunan A memiliki n anggota,maka P(A) memiliki 2n anggota.

Contoh :

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan.Buktikan bahwa jika A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>

B maka P(A)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B).

Jawab :

Dengan diketahui A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B,maka akan dibuktikan bahwa P(A)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B).Ambil X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(A).Harus dibuktikan X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B).Menurut definisi himpunan kuasa,anggota-anggota P(A) adalah semua himpunan-himpunan bagian dari A sehingga jika X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(A),maka pastilah X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A.Padahal diketahui bahwa A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B.Didapat X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A<!–[if gte msEquation 12]>⊆B<![endif]–> atau lebih khusus lagi X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> B.Menurut definisi himpunan kuasa,jika X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B,maka berarti bahwa X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B).Terbukti bahwa X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(A)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>X<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B) atau P(A)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>P(B).

B. MEMAHAMI KONSEP HIMPUNAN BAGIAN

1. Pengertian Himpunan Bagian

Bagian himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B bila setiap anggota himpunan A menjadi himpunan anggota B.

Contoh :

A = { 2,3,5}

B = { 0,1,2,3,4,5 }

Semua anggota A juga merupakan anggota B.Hal demikian dikatakan bahwa A merupakan bagian dari B,ditulis A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> B atau B memuat A,ditulis B <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A

2. Menentukann Banyak Himpunan

Contoh :

P = {1,2,3} himpunan bagiannya adalah {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},{2,3},dan{1,2,3}. Jadi banyaknya himpunan bagian himpunan p yang mempunyai 3 anggota atau n(P) = 3 adalah 8.Rumus menentukan banyaknya himpunan bagian yang mempunyai n anggota adalah 2n.

C. DIAGRAM VENN

Diagram venn adalah suatu gambar untuk menyatakan sebuah himpunan atau beberapa himpunan yang saling berubungan.

Langkah-langkah menentukan diagram venn:

1. Himpunan semesta ( S ) digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan notasi S ditulis pada pojok kiri atas.

2. Setiap himpunan yang termuat didalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup seperti lingkaran dan nama himpunannya ditulis didekat kurva tersebut.

3. Anggota-anggotanya ditunjukkan dengan noktah,dan nama anggotanya ditulis didekat noktah itu.

Contoh :

Diketahui : S = { bilangan asli kurang dari 10 }

L =`{ bilangan ganjil kurang dari 10 }

P = { bilangan prima antara 1 dan 10 }

Jawab : S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

L = { 1,23,5,7,9 }

P = { 2,3,5,7 }

 

D. MELAKUKAN OPERASI IRISAN,GABUNGAN KURANG,DAN KOMPLEMEN PADA HIMPUNAN

1. Irisan atau Interseksi

Pengertian A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B

Irisan A dan B adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota A dan anggota B.

Contoh: Jika A = {1,2,3,4,5}:B = { 2,3,5,7,11}

maka A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B = {2,3,4}

2. Gabungan atau Union

Pengertian A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B

Gabungan A dan B adalah himpunan semua anggota yang menjadi anggota A dan anggota B,dan menjadi anggota A dan B.

Contoh : Jika A = {0,4,9} dan B = { 1,5,8,10},

maka A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B = {0,1,4,5,8,9,10}

3. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

a. Sifat komutatif irisan A <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> B = B <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> A

b. Sifat assosiatif irisan (A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C=A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

c. Sifat komutatif gabungan A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B=B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A

d. Sifat assosiatif gabungan (A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C=A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

e. Sifat distributif irisan terhadap gabungan A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)=(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

f. Sifat distributif gabungan terhadap irisan

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)=(A<!–[if gte msEquation 12]>∪B)∩<![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]>∪C)<![endif]–>

4. Komplemen

Jika A suatu himpunan,maka komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S ditulis Ac atau Ai didefinisikan sebagai himpunan semua anggota yang terletak diluar A.

Contoh :

S = { 1,2,3,…,10}

A ={2,4,6,8,10}

B = {2,3,5,7}

C = { 4,8}

Ac = {1,3,5,7,9}

Bc = {1,4,6,8,9,10}

Cc = {1,2,3,5,6,7,9,10}

5. Selisih Dua Himpunan

Pada pasal sebelumnya telah dibahas komplemen himpunan Aterhadap S.Bagaimana dengan komplemen himpunan A terhadap himpunan B?

1. A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,5,7},A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B = {1,5}

a. A-B = {2,3,4}

b. B-A = {7}

2. A = { 1,2,3} dan B = { 4,5,6}:A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B = 0

a. A-B = {1,2,3}

b. B-A = {4,5,6}

Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A,B,C adalah himpunan-himpunan dalam S.Operator-operator memenuhi beberapa hukum berikut :

a. Hukum komutatif

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B=B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A ; A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B=B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A

b. Hukum assosiatif

(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]>∩C=<![endif]–>A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]>∪C=<![endif]–>A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

c. Hukum distributive

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)=(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(B<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)=(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>C)

d. Irisan dengan S

A<!–[if gte msEquation 12]>∩B=A<![endif]–>

e. Gabungan dengan S

A<!–[if gte msEquation 12]>∪S=S<![endif]–>

f. Komplemen ganda

(AC)C = A

g. Hukum idempotent

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A=A ; A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>A = A

h. Hukum De Morgan

(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)C = AC<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>BC ; (A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B)C = AC<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>BC

i. Hukum penyerapan

A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B) = A ; A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>(A<!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>B) = A

 

E. PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN HIMPUNAN

Tidak ada satu metode tertentu yang secara umum dapat digunakan untuk pembuktian pernyataan-pernyataan yang melibatkan himpunan.Pembuktian dapat menggunakan hukum-hukum dalam logika atau persamaan-persamaan yang sudah terbukti.Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–>Y adalah sebagai berikut :

1. Ambil sembarang x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> X.

2. Dengan langkah-langkah yang benar,tunjukkan bahwa x <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> Y.

Oleh karena x diambil sembarang dalam X,maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y.Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan harusnya dibuktikan dengan dua arah sesuai dengan definisinya yaitu X <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> Y dan Y <!–[if gte msEquation 12]><![endif]–> X.

F. MENYAJIKAN HIMPUNAN DENGAN DIAGRAM VENN

1. Diagram Venn

a. Menyatakan diagram venn

1) Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.

2) Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam persegi panjang pada pojok kiri atas ditulis huruf S

 

 

2. Hubungan Antar Himpunan

a. Himpunan saling lepas

Himpunan yang saling lepas dinotasikan // atau <!–[if gte msEquation 12]>⊃⊂<![endif]–> .Dua buah himpunan disebut saling lepas atau saling asing bila kedua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan

b. Himpunan tidak saling lepas

Dua himpunan dikatakan tidak saling lepas bila kedua himpunan itu mempunyai anggota persekutuan.

c. Himpunan yang sama ( = )

Contoh : A = { t,a,r,i} dan B = {a,r,t,i}

Semua anggota himpunan antara A dan B disebut himpunan yang sama dan ditulis dengan A=B

d. Himpunan yang ekuivalen (~)

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen apabila n(A)=n(B) dan dituliskan sebagai A~B.

Contoh:

B = {11,13} dan K = {5,7}

B~A karena n(B) = n(K) = 2

 

 

 

Daftar Pustaka

Harta, Idris. 2005. Pembelajaran Matematika. Surakarta:Mediatama.

Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Computer. Yogyakarta: Andi Offset.

 

Tri Wahyuni, Dewi Nuharini. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya 1. Jakarta:Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.,.

 

TUGAS MATEMATIKA DISKRIT

‘’ HIMPUNAN ‘’

Di Susun Untuk Memenuhi Tugas Ujian Tengah Semester

Mata Kuliah Matematika Diskrit

 

UMS

 

Disusun oleh :

WINARSIH

A410 070 096

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

2010

 

About wennarsh1

aq gadis asli boyolali
This entry was posted in Matery of math and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s